วิธีจาโคบี วิธีเกาส์-ไซเดล และวิธีผ่อนปรนเกินสืบเนื่องสำหรับหาผลเฉลยของระบบเชิงเส้น

อดิศร กิตติโสภาภรณ์, สิรีธร วินทะไชย, ปรีชา สาระผล, ภัทราวุธ จันทร์เสงี่ยม

Abstract


บทความวิชาการนี้อภิปรายวิธีทำซ้ำสำหรับระบบเชิงเส้น เรากล่าวถึงแนวคิดทั่วไปของวิธีทำซ้ำและเน้นไปที่วิธีทำซ้ำที่สำคัญสามวิธี ได้แก่ วิธีจาโคบี วิธีเกาส์-ไซเดล และวิธีผ่อนปรนเกินสืบเนื่อง เรานำเสนอที่มาของสูตรที่ใช้ในการทำซ้ำ วิเคราะห์การลู่เข้าของการทำซ้ำ ยกตัวอย่างการคำนวณ รวมทั้งอภิปรายวิธีทำซ้ำที่สัมพันธ์กับวิธีข้างต้น กล่าวโดยสรุปได้ว่า วิธีจาโคบีและวิธีเกาส์-ไซเดลจะการันตีการลู่เข้าเมื่อเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุมข่มแท้   ส่วนวิธีผ่อนปรนเกิน สืบเนื่องจะลู่เข้าถ้าใช้กับเมทริกซ์ที่เป็นบวกแน่นอนโดยต้องเลือกตัวประกอบถ่วงน้ำหนัก ที่เหมาะสม

Full Text:

PDF

References


G. Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th ed. USA: Brooks Cole, 2006.

P. J. Olver and C. Shakiban, Applied Linear Algebra, Upper Saddle River, USA: Pearson Education, 2006.

B. N. Datta, Numerical Linear Algebra and Applications, 2nd ed. Philadelphia, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2010.

C. G. J. Jacobi, “Ueber eine neue Auflsungsart der bei der Methode der kleinsten Quadrate vorkommenden lineren Gleichungen,” Astronomische Nachrichten, vol. 22, no. 20, pp. 297-306, 1845.

S. Yousef, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 2nd ed. USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003.

Y. Xiang and M. Rajat, “Acceleration of the Jacobi iterative method by factors exceeding 100 using scheduled relaxation,” Journal of Computational Physics, vol. 274, pp. 695-708, 2014.

J. E. Adsuara, I. Cordero-Carrión, P. Cerdá-Durán, and A. M. Aloy, “Scheduled Relaxation Jacobi method: improvements and applications,” Journal of Computational Physics, vol. 321, pp. 369-413, 2015.

C. F. Gauss, “Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium,” Perthes and Besser, 1809.

H. Liebmann, “Die angen aherte Ermittlung harmonischer Funktionenund konformer Abbildungen, Sitzgsber, bayer, Akad, Wiss,” Mathematisch-Physikalische Klasse, pp. 385-416, 1918.

D. M. Young. “Iterative Methods for Solving Partial Difference Equations of Elliptical Type,” Ph.D. thesis, Harvard University, Cambridge, Massachusetts, 1950.

W. Kahan, “Gauss-Seidel Methods of Solving Large Systems of Linear Equations,” Ph.D. thesis, University of Toronto, Toronto, Canada, 1958.

A. M. Ostrowski, “On the linear iteration procedures for symmetric matrices,” Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni, vol. 14, pp. 140-163, 1954.

E. Reich, “On the convergence of the classical iterative procedures for symmetric matrices,” The Annual of Mathematical Statistics, vol. 20, pp. 448-451, 1949.

P. Albrechtt and M. P. Klein, “extrapolated iterative methods for linear systems,” SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 21, no. 1, pp. 192-201, 1984.

L. B. Krishna, “On the convergence of the symmetric successive overrelaxation method,” Linear Algebra and its Applications, vol. 58, pp. 185-194, 1984.

A. J. H. Hallett, “The convergence of accelerated overrelaxation iterations,” mathematics of computation, vol. 47, no. 175, pp. 219-223, 1986.

A. Hadjidimos, A. Psimami, and A. Yeyios, “On the convergence of some generalized iterative methods,” Linear Algebra and its Applications, vol. 75, pp. 117-132, 1986.

D. J. Evans and C. Li, “On the convergence of the SAOR method and the error bounds for its acceleration,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 23, pp. 297-279, 1988.


Refbacks

  • There are currently no refbacks.




ISSN: 0858-4788
วารสารคณิตศาสตร์ โดย สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์
ห้อง 909/10 ชั้น 9 อาคารมหาวชิรุณหิศ
ภาควิชาคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ถนนพญาไท แขวงวังใหม่ เขตปทุมวัน กทม.10330
โทรศัพท์/โทรสาร : 02–2527980